Operácie s maticami

Hovoríme, že matice A = \( \parallel a_{ij}\parallel \),  B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu m × n sa rovnajú, ak pre i = 1, 2, ..., n je a_ij = b_ij.

Príklad:

Dané sú matice A, B, C:

$$ A = \left(\begin{array}{ccc} 2&4 \\ 0&-2\end{array}\right) ,\ B = \left(\begin{array}{ccc} 2&\sqrt{16} \\ \mathrm{log} \ 1&-2\end{array}\right) ,\ C = \left(\begin{array}{ccc} 2&4 \\ 0&-2 \\ 0&0\end{array}\right) $$

\( A = B \), pretože $$ \left(\begin{array}{ccc} 2&4 \\ 0&-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 2&\sqrt{16} \\  \mathrm{log} \ 1&-2\end{array}\right) $$ 

\( A \neq C \), pretože $$ \left(\begin{array}{ccc} 2&4 \\ 0&-2\end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{ccc} 2&4 \\ 0&-2 \\ 0&0\end{array}\right) $$

Súčtom matíc A = \( \parallel a_{ij}\parallel \), B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu m × n rozumieme maticu C = \( \parallel c_{ij}\parallel \) typu m × n, kde c_ij = a_ij + b_ij pre i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Príklad:

Vypočítajte súčet matíc A + B, ak  $$ A+B = \left(\begin{array}{ccc} 2&1&-3 \\ 1&-2&4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc} 5&3&-3 \\ 1&2&-6\end{array}\right)$$ 

riešenie:

$$ A+ B = \left(\begin{array}{ccc} 2&1&-3 \\ 1&-2&4\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc} 5&3&-3 \\ 1&2&-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 2+5&1+3&-3-3 \\ 1+1&-2+2&4-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 7&4&-6 \\ 2&0&-2\end{array}\right)$$

Násobkom matice A = \( \parallel a_{ij}\parallel \) typu m × n číslom α rozumieme maticu B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu m × n, kde b_ij = α . a_ij  pre i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. 

V prípade α = –1 maticu B nazývame opačnou maticou k matici A.

Príklad:

Vypočítajte násobok matice α.A, ak α = 2 a matica $$ A = \left(\begin{array}{ccc} 2&1&-3 \\ 1&-2&4\end{array}\right) $$

riešenie:

$$ \alpha.A = 2.A = 2 . \left(\begin{array}{ccc} 2&1&-3 \\ 1&-2&4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 2.2&2.1&2.(-3) \\ 2.1&2.(-2)&2.4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 4&2&-6 \\ 2&-4&8\end{array}\right) $$

Súčinom matíc A = \( \parallel a_{ij}\parallel \) typu m × p a B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu p × n rozumieme maticu C = \( \parallel c_{ij}\parallel \) typu m × n kde 

Veta: Pre ľubovoľné matice A = \( \parallel a_{ij}\parallel \) typu m × n, B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu n × p, C = \( \parallel c_{ij}\parallel \) typu n × p a D = \( \parallel d_{ij}\parallel \) typu p × r, jednotkové a nulové matice E_m, E_n, O_m×n, O_p×r, O_m×p, O_n×r a ľubovoľné čísla α, β platí:

1.  A(BD) = (AB)D 
2.  (B + C)D = BD + CD 
3.  A(B + C) = AB + AC 
4.  α(βA) = (αβ)A 
5.  α(AB) = (αA)B = A(αB) 
6.  E_m A = A = A E_n 
7.  O_m×n + A = A + O_m×n 
8.  O_m×n B = O_m×p

Príklad:

Zistite, či existujú súčiny A . B a B . A a ak áno, tak ich vypočítajte, kde $$ A = \left(\begin{array}{ccc} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6\end{array}\right) \  B = \left(\begin{array}{ccc} -1&-2 \\ -3&-4\end{array}\right). $$

riešenie:

Matica A je typu 3×2, matica B typu 2×2. Počet stĺpcov matice A je rovný počtu riadkov matice B, teda súčin A . B existuje. Výsledná matica je typu 3×2. Teda $$ A.B = \left(\begin{array}{ccc} c_{11}&c_{12} \\ c_{21}&c_{22} \\ c_{31}&c_{32}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -7&-10 \\ -15&-22 \\ -23&-34\end{array}\right)$$

\( c_{11} = \left(\begin{array}{ccc} 1&2\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 1.(-1)+2.(-3)=-7 \)

\( c_{12} = \left(\begin{array}{ccc} 1&2\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 1.(-2)+2.(-4)=-10 \)

\( c_{21} = \left(\begin{array}{ccc} 3&4\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 3.(-1)+4.(-3)=-15 \)

\( c_{22} = \left(\begin{array}{ccc} 3&4\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 3.(-2)+4.(-4)=-22 \)

\( c_{31} = \left(\begin{array}{ccc} 5&6\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 5.(-1)+6.(-3)=-23 \)

\( c_{32} = \left(\begin{array}{ccc} 5&6\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 5.(-2)+6.(-4)=-34 \)

Súčin B . A nie je definovaný (počet stĺpcov matice B nie je rovný počtu riadkov matice A).