4. Súčin matíc

Súčinom matíc A = \( \parallel a_{ij}\parallel \) typu m × p a B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu p × n rozumieme maticu C = \( \parallel c_{ij}\parallel \) typu m × n kde 

Veta: Pre ľubovoľné matice A = \( \parallel a_{ij}\parallel \) typu m × n, B = \( \parallel b_{ij}\parallel \) typu n × p, C = \( \parallel c_{ij}\parallel \) typu n × p a D = \( \parallel d_{ij}\parallel \) typu p × r, jednotkové a nulové matice Em, En, Om×n, Op×r, Om×p, On×r a ľubovoľné čísla α, β platí:

  1.  A(BD) = (AB)D 
  2.  (B + C)D = BD + CD 
  3.  A(B + C) = AB + AC 
  4.  α(βA) = (αβ)A 
  5.  α(AB) = (αA)B = A(αB) 
  6.  Em A = A = A En 
  7.  Om×n + A = A + Om×n 
  8.  Om×n B = Om×p

Príklad:

Zistite, či existujú súčiny A . B a B . A a ak áno, tak ich vypočítajte, kde $$ A = \left(\begin{array}{ccc} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6\end{array}\right) \  B = \left(\begin{array}{ccc} -1&-2 \\ -3&-4\end{array}\right). $$

riešenie:

Matica A je typu 3×2, matica B typu 2×2. Počet stĺpcov matice A je rovný počtu riadkov matice B, teda súčin A . B existuje. Výsledná matica je typu 3×2. Teda $$ A.B = \left(\begin{array}{ccc} c_{11}&c_{12} \\ c_{21}&c_{22} \\ c_{31}&c_{32}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -7&-10 \\ -15&-22 \\ -23&-34\end{array}\right)$$

\( c_{11} = \left(\begin{array}{ccc} 1&2\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 1.(-1)+2.(-3)=-7 \)

\( c_{12} = \left(\begin{array}{ccc} 1&2\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 1.(-2)+2.(-4)=-10 \)

\( c_{21} = \left(\begin{array}{ccc} 3&4\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 3.(-1)+4.(-3)=-15 \)

\( c_{22} = \left(\begin{array}{ccc} 3&4\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 3.(-2)+4.(-4)=-22 \)

\( c_{31} = \left(\begin{array}{ccc} 5&6\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -1 \\ -3\end{array}\right) = 5.(-1)+6.(-3)=-23 \)

\( c_{32} = \left(\begin{array}{ccc} 5&6\end{array}\right) . \left(\begin{array}{ccc} -2 \\ -4\end{array}\right) = 5.(-2)+6.(-4)=-34 \)

Súčin B . A nie je definovaný (počet stĺpcov matice B nie je rovný počtu riadkov matice A).